Законы сохранения в механике - быстрее и проще

Повторяя механику, обратите пристальное внимание на раздел, посвященный законам сохранения. Эти законы часто позволяют решить задачу быстрее и проще. Однако, нужно всегда помнить об особенностях их применения. 

Ошибки школьников в применении этих законов для решения задач обычно связаны с недопониманием таких особенностей:

• законы записываются для замкнутых систем,
• механическая энергия сохраняется, если в системе нет трения,
• закон сохранения импульса записывается в векторной форме.

Подборку простых  характерных задач на законы сохранения, встречающихся в ЕГЭ, вы найдете здесь.

Сейчас хотелось бы рассмотреть решение двух сложных задач, варианты которых также встречались в ЕГЭ, и которые практически никто из участников  не смог решить на олимпиаде КемГУ: 

Задача об отскоке от наклонной плоскости.

На горизонтальной идеально гладкой поверхности покоится тело в виде наклонной плоскости с углом 45^о и массой 4 кг. С этим телом упруго сталкивается шар массой 1 кг, летевший со скоростью 10 м/с. В результате удара шар отскакивает вертикально вверх, а тело начинает двигаться по поверхности. Определить, на какую высоту поднимется шар. 

Решение.

Обозначим за v и v₁ – скорости шарика до и после удара, m_p – массу наклонной плоскости,  u – ее скорость после удара.

Очевидно, что нужно записать закон сохранения энергии:

При записи этого закона сразу появляются сомнения: как же так, направление суммарного импульса после удара должно сохраниться, а появляется вертикальная составляющая, которой до удара не было. Дело в том, что в замкнутую систему, для которой можно записать закон сохранения импульса часто «забывают» включать Землю. Это она получила противоположный по направлению, направленный вертикально вниз импульс.

Рассматривать в задаче  Землю, конечно неудобно. Но нас выручает то, что составляющие импульса сохраняются и отдельно, вдоль перпендикулярных осей. Поэтому проекции импульса на горизонтальную ось (уже без векторов):

Отсюда можно найти скорость плоскости после удара.

Узнав о тайной роли Земли в рассматриваемом явлении, сразу начинаешь волноваться о том, правильно ли записан выше закон сохранения энергии. Оказывается, правильно. Дело в том, что Земля очень массивна, ее скорость после удара пропорциональна отношению массы шарика к массе Земли, следовательно, практически равна нулю и не дает вклада в  закон сохранения энергии.

Учтя, что кинетическая энергия шарика далее переходит в потенциальную  mgh=mv₁/2, можно получить искомую формулу для вычисления высоты подъема шара:

Задача о беспокойном рыбаке

На сколько сместится неподвижная лодка массой 280 кг, если человек массой 70 кг перейдет с носа на корму? Длина лодки 5 м, сопротивлением воды пренебречь

Решение

По закону сохранению импульса  0=mv-Mu, где скорости человека v и лодки u записаны относительно Земли.  Человек  в лодке движется относительно лодки с суммарной скоростью u+v  и за время t пройдет длину лодки l (t=l/(v+u)). За это время относительно Земли лодка пройдет

Дополнительно довольно сложные и интересные задачи на законы сохранения в механике разобраны здесь.